當我父親租車把家人從機場載到他在中國的偏遠農村出生地，以及我的母親準備長眠之地，我開始起疑。老舊的破車看上去跟開車的人和我們五個人還有我們所有的行李，並不相稱。當我們沿著只見山羊的顛簸泥濘小路迂迴前行，我對這趟四小時車程越發懷疑了。這是捷徑嗎？真的沒有通往這個村子的水泥柏油路了嗎？

隨後，我們駛過一段特別崎嶇不平的小路，車子的前輪滾過一個隆起，結果車身卡在隆起處，動彈不得。我們的前輪和後輪在鬆軟的泥土裡無助地空轉。我們被困住了。

看起來不太妙。我們與世隔絕，在一條不太可能有車經過的小路上，和任何一個真正的文明世界距離很遙遠。天色很快就暗了，我們沒辦法在傍晚前步行幾十公里。

我們的窘境看起來不像數學問題，沒有數字，沒有符號，沒有公式，但我一直有種感覺，我的數學訓練也許幫得上忙。我回想起以前曾經看過和這個難題類似的題目，在很受歡迎的數學作家馬丁．葛登能（Martin Gardner）的一本書上。題目是這麼說的：有輛卡車卡在高架橋下，由於車流量大，無法後退，但高度又太高，所以無法前進。該怎麼辦？我記得答案是：把輪胎的氣放掉一些。這會讓卡車的高度降低到能夠從高架橋下方通過。

那道謎題看上去有點像我們面臨的窘境，但又有點不同—我們不是困在高架橋下方，而是卡在一塊隆起之上。也許我們可以替輪胎打氣⋯⋯但很遺憾，我們沒有打氣筒。我們該怎麼辦？

歸類問題

當你開始腦力激盪，思考可能的解題策略，會有必須理解真正的問題是什麼的一刻，這時你必須剝掉不必要的元素，以便歸類這個問題，在它和你過去曾解決的一連串問題之間建立起連結。做這件事的同時，你是在努力思索這個問題的隱含意義。

的確，在你想要理解某件事的意義時，你總會問它與其他事物的關係。若是思索生命的意義，你就是在沉思自己在這個世界裡的位置。或者，假如是思考一件怪事的意義，你就已經選擇不要單獨考慮這件事，而是想想它的成因，或它對其他事件的影響。又如果你在查一個字詞的意思，就會得到一個定義，讓這個字和其他字產生關聯。

阿根廷作家波赫士引用詩人利奧波多．盧貢內斯（Leopoldo Lu-gones）的話，說出「每個字都是死去的隱喻」時，他的意思是每個字的意義都來自某段歷史，產生出這個字的語境。舉例來說，calculus（微積分）這個字的原意是用來做算術的「小石子」，就像你會在算盤上看到的算珠，如今這個字是指一種複雜得多的加法；geometry（幾何學）一字的原意「土地測量」，如今則是指告知幾乎任何東西的量度的數學見解。字詞不是單獨存在的，每一個字都帶著來自古老卻持續存在的對話的隱喻。

同樣的，數學概念也是隱喻。想一想7這個數字，要說出7有什麼有趣的地方，你就必須讓它跟其他事物進行對話。要說出7是質數，就要談7與它的因數之間的關係；7的因數就是能夠整除7的那些數。要說出7的二進位表示法為111，就是讓7和數字2進行對話。要說出7是一個星期裡的天數，就是讓它跟日曆交談。因此，數字7既是抽象的概念，也是幾個具體的隱喻：質數，二進位數，以及一個星期裡的天數。同樣的，畢氏定理是把直角三角形的三個邊聯繫起來的陳述，但就隱喻上來講，它也是你所學到可闡釋為什麼它真確無誤的每一個證明，你所看到可告訴你它為什麼有用的每一個應用。因此，每當你看到新的證法，或看到這個定理有新的用法，這個定理的意義就擴大了。每一個數學概念都帶著決定本身意義的隱喻，沒有哪個概念能夠單獨存活下來—單獨生存的概念會死亡。

數學像詩歌一般

這就是為什麼數學像詩歌一般，可以那麼令人滿足。使用的字義越多，字詞的意義就變得越豐富，意義有細膩的差別，會喚起意象，所以同義詞並非真的是同義詞。詩人喜歡用精確的字詞來表達意念，以此為樂。使用得越多，數學概念的意義也會變得更加豐富，每一種理解都會帶來稍微不同的觀點，這麼一來，當你用恰當的方式看待某個概念，就會有頓悟之感。

意義是人的基本渴望。我們渴望優美的詩，因為欣賞詩歌意義的豐富性。我們渴望有意義的工作，如果不渴望有意義的生活的話。我們渴望與人建立有意義的良好關係。尋找意義是充實過生活的自然表現，那為什麼我們要在學習數學的方法上退而求其次呢？

數學家龐加萊（Henri Poincaré）說：

科學是由事實構成的，猶如房子是用石頭砌成的；但就像一堆石頭稱不上是一座房子，事實的積累不再是一門科學。

學習一堆分散的數學事實，就只是一堆石頭，要蓋起房子，你必須知道怎麼把石頭擺在一起。這正是背九九乘法表很無聊的原因：因為它們是一堆石頭。但在乘法表中尋找模式，了解為什麼會出現這些模式，這就是在蓋房子。蓋房子的人在數學方面的表現比較好；數據顯示，數學成就最低的學生，是那些運用熟背策略的學生，而成就最高的學生，是把數學視為一組互有關聯的重要概念的學生。

尋求意義，就會建立起重要的德行。

第一個是建構故事的德行。幾千年來，人類一直在運用故事傳遞歷史或基本的真理。故事會從截然不同的事件創造出一種敘事，把聽故事的人與故事本身和人與人之間聯繫起來。數學沒什麼不同。把概念聯繫起來，對建立起數學上的意義是十分重要的，而做這件事的人，也會成為天生的故事建構者和講故事的人。

函數是在講故事

在我受的數學教育中，經常是老師給我某個概念，要我用這個概念做習題，但不教它的重要性。我會花很多力氣弄懂這個概念，因為即使它有定義，也沒有意義，沒有和更大的故事產生關聯。然而有好幾次，由簡短有力的一句話描繪出的故事，幫助我看到了全貌。在微積分中，當有人說：「部分積分法是乘法規則的相反」，這兩個概念就都變得更清楚易懂了。在統計學上，我聽過這樣一個故事：「學統計學就是在學習當個優秀的數據偵探。」而在所有的數學領域，都有這一課：「物件本身的重要性不如物件之間的函數關係。」這個準則概括了我所說的數學意義：物件具有的意義都會受本身與其他物件的關係所影響。函數就是關係；函數是在講故事。

建構故事的方法很多。再想一想畢氏定理在說什麼：一個直角三角形（其中一角為直角的三角形）的三邊長a、b、c滿足下列的關係

a2＋b2＝c2

其中的c是斜邊（最長邊）的邊長。在你建構出故事之前，這是個沒有脈絡的事實，很容易忘記。

或許你會設計一個幾何的故事，在直角三角形的每一邊各畫一個正方形，然後發覺這個定理就在說：兩個小正方形的面積加起來一定會等於最大的正方形的面積。

你也可以找個重要性的故事，解釋它為什麼重要：「畢氏定理是所有三角學的基礎，也是幾何學上最重要的定理之一。」歷史的故事會把這個定理放在歷史脈絡中：「畢氏學派給這個定理的證明，發現的時間比歐幾里得給這個定理的證明早了兩三個世紀。」

數學探險家喜歡解釋型的故事，這正是證明的真諦。

※本文摘取自《生而為人的13堂數學課：透過數學的心智體驗與美德探索，讓你成為更好的人的練習》，臉譜出版。

作者簡介

蘇宇瑞Francis Su

哈維穆德學院（Harvey Mudd College）Benediktsson-Karwa數學講座教授，屢獲殊榮的數學教育工作者，美國數學協會（MAA）前主席。獲頒2013年海默獎（Deborah and Franklin Tepper Haimo Award，頒給全美大學數學教師的優良教學獎），並榮獲2018年哈莫斯―福特數學寫作獎（Paul R. Halmos-Lester R. Ford Award）。文章刊於《量子雜誌》（Quanta Magazine）、《連線》雜誌（Wired）和《紐約時報》。

譯者簡介

畢馨云

清華大學數學系畢業，曾任出版社科普書編輯十多年，目前為自由譯者，假日在業餘交響樂團拉大提琴。譯有《這才是數學》、《科學酷媽的育兒大探險》、《數學好有事》、《幫孩子找到自信的成長型數學思維》、《邏輯的藝術》等，另有譯作刊於《BBC知識》雜誌。