我的朋友克里斯多福．傑克森（克里斯）是數學探險家。他受限於環境，但不受想像力的限制。他充滿好奇心，有創造力，無所畏懼，執意堅決。克里斯喜歡好問題所能帶來的挑戰。

過去幾年，克里斯都在旅行。他用嶄新的眼光探索數學，開始發現它和以前所學到的枯燥數學類型不同。儘管隔離在監獄中，以及隔絕帶來的難題，他對數學這門學科的認識和熱愛卻不斷增加。我有幸遠遠觀察他的轉變。

克里斯的生活並不安逸。他在喬治亞州奧古斯塔（Augusta）的藍領工人社區，由母親、阿姨們和外祖母共同撫養長大。克里斯對自己的父親根本沒有記憶，父親染上快克古柯鹼毒癮，後來在高速公路上發生車禍，被一輛聯結車撞上，不幸喪生，死時克里斯還不到兩歲。克里斯有受一些好的影響，母親經常唸書給他聽，把對書本的愛好灌輸給他—但他也受到了某些負面影響，這讓他在十幾歲的時候染上毒癮，還犯下他在給我的第一封信中描述的一連串案件。

我很謹慎看待2013年11月那封來自松節監獄的信，但也感到著迷。信是手寫的，字跡工整，行文真誠。在我的想像中，來信者是個字斟句酌的年輕人。我看不到他，我只能透過他的文筆認識他，但也許這麼一來，他的個性就更鮮明了。克里斯反省自己的坎坷過往，思考他希望看到的未來面貌，以及他透過看書自修從事數學興趣的方式，讓我深受感動。我很遺憾我任教的學校沒有遠距學程可提供給他。

我和克里斯已經斷斷續續通信六年了，我們談到數學方面的共同興趣及人生。我徵得克里斯同意，從我們的通信節錄幾段在這裡分享，因為他的見解和經驗可進一步闡明我在書中所說的一切。這不是關於我怎麼幫助克里斯在獄中做數學的故事，而是關於克里斯怎麼開始用新的方式看待自己和數學的故事。他的見解和旅程給了我靈感，要寫一本書來談圓滿幸福，要更徹底相信數學對每個人都有助益。

我是個數學探險家，我的旅程和克里斯的旅程不同，但我們兩人都受到數學探索的魅力誘使，而喚醒想像力。小時候我喜歡星星，我所生活的德州鄉下小鎮遠離任何一座大城市，我甚至能看見最暗的星星。我央求父母買望遠鏡，但我們沒有錢，所以我如飢似渴讀了很多天文方面的書籍，幻想上太空。我想當個太空人，去其他的星球，跟新奇的生命形式邂逅相遇。這似乎很令人興奮，直到我明白航向距離我們最近的恆星要花多久，然後想到我必須拋下的所有人。但這並沒有阻止我繼續幻想。我靠著科幻小說來滿足自己的幻想，看一些像《夜幕低垂》（Nightfall）這樣的故事看得入迷；艾薩克．艾西莫夫（Isaac Asimov）的這個短篇小說，在講夜色終於降臨在一個有六顆太陽的行星文明時所發生的故事。我可以在腦海中探訪這個世界。

1970年代末和1980年代初，「太空探測船先鋒號」（Pioneer）和「航海家號」（Voyager）穿越了太陽系，進一步激發我童年時的想像力。史上第一次，科學家拍攝到木星衛星和土星環的特寫照片。飛抵這些行星，需要花許多年替這些無人太空船可能遇到的所有情況，不管好壞，進行具創造性的計畫。就像科學家自己在遠距離外做出發現一樣，我也可以從德州南部的小鎮，感同身受地探索這些行星。我很喜歡仔細研究報紙上刊登的「航海家號」傳回影像。

我們真的可以在這些星球中看到數學。土星環在土星的赤道平面環繞著這顆行星。從遠處看，土星環彷彿靜止的環帶，但這些環基本上是由大量像巨礫般大的岩石（小衛星）組成的，這些岩石主要是冰組成的，在重力的作用下繞著土星運行。1610年，天文學家伽利略首度透過望遠鏡觀測到土星環，他不確定它們是什麼，於是戲稱為耳朵。後來的天文學家確認這些結構是環，且環與環之間有縫隙。「航海家號」太空船讓我們看到土星環更細微的結構，例如高密度與低密度波紋的圖樣，很像老式黑膠唱片上的溝槽。

據我所知，土星環的某些結構可以用數學的見解來解釋。與土星距離相同的所有冰凍岩石，都會花同樣多的時間繞軌道運行一圈，這叫做軌道週期。距離土星較遠的冰凍岩石，軌道週期比較長，繞行速度也比距離較近的岩石來得慢，因為受土星重力的影響比較小。不妨把土星環想成環繞著土星的跑道，在內側跑道的人跑得比較快，跑的距離也比外側跑道上的人來得短。

冰凍岩石的軌道週期與土星某顆衛星的週期剛好成整數比的時候，就會發生特殊的情況。舉例來說，假設有塊岩石和一顆衛星繞著土星運行，而且衛星在外側軌道上繞一圈時，內側軌道上的岩石繞了兩圈。那塊岩石每繞兩圈，就會在軌道上的同一個位置跟衛星擦身而過。

這顆衛星在最接近那塊岩石的時候，對岩石的萬有引力最強大。由於這些反覆出現的拉力發生在同一個位置，所以往往會彼此強化，擾亂那塊岩石的軌道，很像你跟著鞦韆的運動同步推鞦韆，會讓鞦韆上的孩子越盪越高一樣。因此，跟土星距離同樣遠，具有相同軌道週期的所有岩石，往往會從那個軌道擺動出去。這種效應稱為軌道共振（resonance），而在效應非常強大時，可能會在土星環中造成縫隙。

最大的縫隙達4,800公里寬，稱為卡西尼環縫（Cassini division），是繞軌道運行的岩石與土衛一之間2:1共振的結果。衛星與岩石週期的其他小整數比（如3:2或4:3），也可以獲得共振效應，雖然沒那麼明顯，而且通常更像波紋，不像縫隙。衛星與岩石之間的共振效應，可以解釋土星環的許多特徵。實際上我們看見的是，在這些冰凍岩石的細微軌道之舞中激起顯眼模式的數值比（簡單分數）！對於像我一樣的孩子，運用數學與想像力做一點探索，就能讓14.5億公里外的天體更容易理解，是很令人喜悅的。

數學探索非常像太空探險，只是探究的空間不一樣—數學在探索概念空間。你不知道啟程之後會發現什麼。你派出探測器去檢驗理論。謎團令你著迷，你受問題驅使，挫折沒把你嚇倒。你在遠端有了發現：概念本身不是實體的，所以你透過推理進入這個空間。探索和理解正是做數學的核心意義。

很可惜，如果有人認為數學就只是算術，或是很久以前發現並確立的高深且更沉悶的東西，那麼大家就不會把探索或探險一詞和數學聯想在一起。

學校所教的數學讓你為未來的探索做好準備，但想像一下，倘若現在就可以一邊學數學，一邊探索數學的話，我們的經驗會多麼不同。你可以想像你在學習籃球規則，然後只練習罰球，卻從不看比賽，也從不上場打球，直到你準備好成為職業球員為止—你會有什麼感覺？學習可能就不會很快樂，而你現在也不會準備好。

※本文摘取自《生而為人的13堂數學課：透過數學的心智體驗與美德探索，讓你成為更好的人的練習》，臉譜出版。

作者簡介

蘇宇瑞Francis Su

哈維穆德學院（Harvey Mudd College）Benediktsson-Karwa數學講座教授，屢獲殊榮的數學教育工作者，美國數學協會（MAA）前主席。獲頒2013年海默獎（Deborah and Franklin Tepper Haimo Award，頒給全美大學數學教師的優良教學獎），並榮獲2018年哈莫斯―福特數學寫作獎（Paul R. Halmos-Lester R. Ford Award）。文章刊於《量子雜誌》（Quanta Magazine）、《連線》雜誌（Wired）和《紐約時報》。

譯者簡介

畢馨云

清華大學數學系畢業，曾任出版社科普書編輯十多年，目前為自由譯者，假日在業餘交響樂團拉大提琴。譯有《這才是數學》、《科學酷媽的育兒大探險》、《數學好有事》、《幫孩子找到自信的成長型數學思維》、《邏輯的藝術》等，另有譯作刊於《BBC知識》雜誌。